(1, -2) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং x + 3y = 6 রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে-

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ হলো:

\(x + 3y = 6\)

এই রেখাকে \(y = mx + c\) আকারে প্রকাশ করি, যেখানে \(m\) হলো রেখার ঢাল (slope)।

\(3y = -x + 6\)

\(y = -\frac{1}{3}x + \frac{6}{3}\)

\(y = -\frac{1}{3}x + 2\)

সুতরাং, প্রদত্ত রেখার ঢাল \(m_1 = -\frac{1}{3}\)।

আমরা জানি, দুটি লম্ব রেখার ঢালের গুণফল \(-1\) হয়। অর্থাৎ, \(m_1 \cdot m_2 = -1\)।

যে রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে, সেটি প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব। যদি লম্ব রেখার ঢাল \(m_2\) হয়, তবে:

\(-\frac{1}{3} \cdot m_2 = -1\)

\(m_2 = -1 \cdot (-3)\)

\(m_2 = 3\)

অতএব, নির্ণেয় লম্ব রেখার ঢাল হলো 3।

এখন, এই লম্ব রেখাটি \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে এবং এর ঢাল 3। একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে গমনকারী ও নির্দিষ্ট ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)।

এখানে, \((x_1, y_1) = (1, -2)\) এবং \(m = 3\)।

\(y - (-2) = 3(x - 1)\)

\(y + 2 = 3x - 3\)

সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে সাজিয়ে পাই:

\(3x - y = 2 + 3\)

\(3x - y = 5\)

অতএব, \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং \(x + 3y = 6\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ হলো \(3x - y = 5\)।

যদি \(ax + by + c = 0\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হয়, তবে তার সাধারণ রূপটি হবে \(bx - ay + k = 0\)।

এখানে, প্রদত্ত রেখাটি হলো \(x + 3y = 6\), বা \(x + 3y - 6 = 0\)।

সুতরাং, এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে \(3x - 1y + k = 0\), অর্থাৎ \(3x - y + k = 0\)।

এখন এই লম্ব রেখাটি \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। এই বিন্দু দিয়ে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:

\(3(1) - (-2) + k = 0\)

\(3 + 2 + k = 0\)

\(5 + k = 0\)

\(k = -5\)

এখন \(k\) এর মান লম্ব রেখার সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(3x - y - 5 = 0\)

বা,

\(3x - y = 5\)